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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7s

s) int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n (x) s e n^2 (x) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável, mas antes disso temos que lembrar da relação fundamental (lá da trigonometria):

s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1 -> s e n^2 (x) = 1 - cos^2 (x)

Agora Vejamos:

int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n (x) s e n^2 (x) d x = int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n (x) ( 1 - cos^2 ( x ) ) d x

A substituição da vez será u = c o s ( x ) , pois quando derivarmos vai aparecer s e n ( x ) 😉

u = cos (x) ( * )

Derivando,

d u = - s e n (x) d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = (pi)/(3) -> u = c o s ((pi)/(3)) = (1)/(2)

x = (pi)/(2) -> u = c o s ((pi)/(2)) = 0 Quando derivamos apareceu d u = - s e n (x) d x que é basicamente - d u = s e n (x) d x

Nossa integral era:

int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) s e n (x) ( 1 - cos^2 (x) ) d x = int_((pi)/(3))^((pi)/(2)) ( 1 - cos^2 (x) ) s e n (x) d x

e vai ficar assim ó:

int_0^((1)/(2)) (1 - u^2) (- d u) = - int_0^((1)/(2)) (1 - u^2) d u = int_0^((1)/(2)) d u - int_0^((1)/(2)) u^2 d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

int_0^((1)/(2)) d u - int_0^((1)/(2)) u^2 (d u) = u |_0^((1)/(2)) - (u^3)/(3) |_0^((1)/(2)) = ((1)/(2) - 0) - ((1)/(8 * 3) - (0)/(3)) = (1)/(2) - (1)/(24) = (11)/(24)

Resposta

(11)/(24)

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