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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 119

Determine a integral indefinida (a primitiva mais geral). Verifique sua resposta por derivação.

∫ 3 2 x x 2 - 1 d x

Passo 1

Para resolver essa integral, utilizaremos a seguinte mudança de variável:

x = sec ⁡ u

d x = sin ⁡ u cos 2 ⁡ u d u

Passo 2

Assim, temos:

∫ 3 2 x x 2 - 1 d x = 3 2 ∫ sin ⁡ u   d u cos 2 ⁡ u 1 cos ⁡ u 1 cos 2 ⁡ u - 1 = 3 2 ∫ sin ⁡ u d u sin ⁡ u = 3 2 ∫ d u = 3 2 u + c

Substituindo de volta o valor de u, temos:

u + c = 3 2 arcsec ⁡ x + c

Onde c é uma constate.

Passo 3

Conferindo por derivação, temos:

f x = 3 2 arcsec ⁡ x + c =

arcsec ⁡ x = z   → sec ⁡ z = x   → 1 c o s z = x

sin ⁡ z cos 2 ⁡ z d z = d x

f ' x = 3 2 arcsec ⁡ x + c ' = d z = 3 2 1 x 2 1 1 - 1 x 2 = 3 2   1 x 1 x 2 - 1  

Portanto, vemos que a primitiva está correta.

Resposta

f x = 3 2 arcsec ⁡ x + c =

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