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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 109

Determine a integral indefinida (a primitiva mais geral). Verifique suas respostas por derivação.

∫ c o s s e c 2 θ c o t g 2 θ d θ

Passo 1

Para resolver essa integral, utilizaremos a seguinte mudança de variável:

u = 2 θ

Logo,

d u = 2 d θ

Passo 2

Portanto, temos:

∫ c o s s e c 2 θ c o t g 2 θ d θ = 2 2 ∫ c o s s e c   u   c o t g   u

Já é conhecido que a integral ∫ c o s s e c   u   c o t g   u = - c o s s e c   u + c

Passo 3

Assim, temos:

∫ c o s s e c 2 θ c o t g 2 θ d θ = 2 2 ∫ c o s s e c   u   c o t g   u = 2 2 - c o s s e c   u + c

Substituindo de volta, o valor de u, temos:

2 2 - c o s s e c   u + c = 2 2 ( - c o s s e c 2 θ + c

Onde c é uma constante.

Passo 4

Conferindo por derivação:

f x = 2 2 ( - c o s s e c 2 θ + c = - 2 2 1 s e n 2 θ + c

f ' x = - 2 2 . - cos ⁡ 2 θ s e n 2 2 θ . 2 = 1 s e n ( 2 θ ) . c o s ⁡ ( 2 θ ) s e n ( 2 θ ) = c o s s e c 2 θ . c o t g ( 2 θ )

Vemos, portanto, que a primitiva está correta!

Resposta

f x = 2 2 ( - c o s s e c 2 θ + c

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