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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 62 c

Determine o limite underset(x -> 1^+)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))]

Passo 1

Perceba que nosso objetivo é saber o que acontece com a função f (t) = (1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3))) quando nos aproximamos de 1 pela direita, ou seja por valores maiores que um.

Como estamos numa soma, podemos usar a regra da soma “O limite da soma é a soma dos limites”:

underset(x -> 1^+)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = underset(x -> 1^+)(l i m) (1)/(x^((1)/(3))) + underset(x -> 1^+)(l i m) (2)/((x - 1)^((4)/(3)))

Pela regra do quociente nas parcelas do limite, temos:

underset(x -> 1^+)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = underset(x -> 1^+)(l i m) (1)/(x^((1)/(3))) + underset(x -> 1^+)(l i m) (2)/((x - 1)^((4)/(3))) = (underset(x -> 1^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 1^+)(l i m) x^((1)/(3))) + (underset(x -> 1^+)(l i m) 2)/(underset(x -> 1^+)(l i m) (x - 1)^((4)/(3)))

Passo 2

Se ligue que 2 não depende de x, então underset(x -> 1^+)(l i m) 2 = 2 , pelo mesmo motivo underset(x -> 1^+)(l i m) 1 = 1 . Substituindo os resultados nessa bagaçada, ficamos :

(underset(x -> 1^+)(l i m) 1)/(underset(x -> 1^+)(l i m) x^((1)/(3))) + (underset(x -> 1^+)(l i m) 2)/(underset(x -> 1^+)(l i m) (x - 1)^((4)/(3))) = (1)/(1) + (2)/(0)

Ps: Não escreve o (2)/(0) na sua prova, man senão teu professor vai te meter um zero. Fiz isso aqui so pra você perceber que o numerador não se anula, enquanto o denominador se anula, isso significa dizer que a nossa expressão tende a oo . Vamos analisar o ‘sinal’ desse oo .

Passo 3

Vamos olhar primeiro para essa parcela do limite:

underset(x -> 1^+)(l i m) (x - 1)^((4)/(3))

Como estamos próximo a zero pela esquerda, então estamos com valores negativos, mas

underset(x -> 1^+)(l i m) (x - 1)^((4)/(3)) = underset(x -> 1^+)(l i m) root(3)((x - 1)^4)

Por aquela paradinha: quem ta na sombra passa pro sol, quem tá no sol passa pra sombra.

Daí,

(2)/(0) = oo

Dando uma roubadinha, poderíamos pensar assim:

1 - oo

Como oo é muito grande e só estamos retirando 1 dele. Então, isso me retornaria algo grade com sinal negativo. Ou seja,

1 - oo = - oo

Beleza?

Passo 4

Mas como eu disse, não é aquilo que você vai escrever na prova, então veja só como você botaria lá:

underset(x -> 1^+)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = - oo

Resposta

underset(x -> 1^+)(l i m) [(1)/(x^((1)/(3))) + (2)/((x - 1)^((4)/(3)))] = - oo

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9-16. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f no ponto a . Encontre um número δ tal que f x - Lϵ se 0x - aδ .10. lim x → 3 ⁡ 5 x - 2 = 13 ,ϵ = 0,01
9-16. São dados um número positivo ϵ e o limite L de uma função f no ponto a . Encontre um número δ tal que f x - Lϵ se 0x - aδ .14. lim x → 4 ⁡ x = 2 , ϵ = 0,001
1. b) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 3 , tal que, para cada ponto x no intervalo, o valor da função f x = 4 x - 5 não esteja mais longe do que 0,01 unidade do número f 3 = 7
1. c) Encontre o maior intervalo aberto, centrado no ponto x = 4 , tal que, para cada ponto x do intervalo, o valor da função f x = x 2 não esteja mais longe do que 0,001 unidade do número f 4 = 16 .
Seja f x = x + x com L = lim x → 1 ⁡ f ( x ) e tome ϵ = 0,2 . Use um recurso gráfico e sua operação de traçar retas para encontrar um número positivo δ , tal que f x - Lϵ se 0x - 1δ .