Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 20
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
20-
Passo 1
E aí, galera. Beleza?
Bom, nessa questão nós temos que analisar a função dada e calcular o limite pedido. Caso ele não exista, devemos mostrar isso.
Tranquilo? Vem comigo então.
Passo 2
Substituindo o ponto nós encontramos a indeterminação o que faz com que tenhamos que encontrar outra forma de resolver esse limite. Uma forma de resolver esse exercício é separar esse limite de três variáveis em três limites de duas variáveis, da seguinte forma:
Pois os três limites terão que convergir para o mesmo valor para que a função seja contínua. Se um limite der diferente do outro nós não teremos nenhum limite.
Passo 3
Para o primeiro limite, vamos nos aproximar do ponto (0,0,0) pelo eixo x, ou seja, faremos e iguais a zero. Vamos ter:
Para o segundo limite, vamos nos aproximar do ponto (0,0,0) pelo eixo , ou seja, faremos e iguais a zero. Vamos ter:
Para o terceiro limite, vamos nos aproximar do ponto (0,0,0) pelo eixo z, ou seja, faremos e iguais a zero. Vamos ter:
Isso nos dá uma noção de que o limite parece tender a zero no ponto dado, mas vamos fazer um outro limite que vai contrariar isso.
Passo 4
Podemos nos aproximar do ponto (0,0,0) fazendo:
Com tendendo a zero também teremos a indeterminação porém se fizermos L’Hopital duas vezes nessa função nós encontraremos:
Que é um valor diferente de . Logo a função é descontínua nesse ponto não tendo limite nesse ponto.
Resposta
Não existe limite nesse ponto.