Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 9
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Faaalaaaaaaa, meu parceiro. Vamos de mais uma resolução.
A gente tem a função:
E devemos resolver ela, ou devemos mostrar que o limite dela não existe.
Primeira coisa que podemos fazer para tentar resolver esse tipo de atividade é procurar saber se nossa função é continua dentro do ponto que estamos trabalhando, caso ela seja, poderemos substituir os valores de e resolvermos a questão.
Caso ela não seja, teremos que testar se o limite que estamos trabalhando não existe com o teste:
Isso é, iremos tomar diferentes caminho para chegar em e caso os limites desses diferentes caminhos sejam distintos, então o limite não existe.
Passo 2
Não dá pra substituir direto porque a gente chega numa indeterminação .
Vamos então, encontrar esse limite por caminhos diferentes e ver se nos dois caminhos, ele bate.
Primeiramente, vamos pelo caminhar pelo eixo . Por esse caminho, a nossa variável vale certo?
Olhando para o limite dessa função com tendendo a zero, teremos:
Então, por esse caminho, a nossa função tende a zero:
Passo 3
Bom, vamos olhar outro caminho agora então. Podemos caminhar agora pelo eixo e nesse caminho, a nossa variável vale .
Agora, vamos considerar outro caminho. Digamos que o caminho seja . Portanto, temos
Temos então:
Colocando em evidência:
Simplificando:
Substituindo:
Temos então que o nosso limite é:
Epa, epa, epa!
Por esse caminho, a nossa função tende a :
Como a nossa função, quando olhamos por caminhos diferentes, possui limites diferentes, podemos dizer que o limite não existe!