Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ y 4 x 4 + 3 y 4

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ y 4 x 4 + 3 y 4

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

Vamos primeiro analisar a nossa função que está no limite:

  • A função y 4 é contínua por ser polinomial.
  • A função x 4 + 3 y 4 também é contínua por ser polinomial.
  • Porém, sabemos que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Logo, a função racional y 4 x 4 + 3 y 4 é contínua para ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) .

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e f ( x , y ) ao longo do eixo y .

Se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0 x 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo y :

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = y 4 3 y 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f 0 , y = 1 3

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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