Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.2 - Ex. 11
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Fala, belezinha?
Vamos começar a resolver esse limite?
Para encontrar o limite da função quando se aproxima de , podemos substituímos por uma expressão em termos de , e simplificamos a função para facilitar o cálculo do limite.
Depois, avaliamos se o resultado do limite, o que nos permite determinar se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Agora é só resolver!
Passo 2
Então pessoal, aqui as coisas complicam um pouquinho! Se substituirmos o ponto que nos foi dado, veremos que aparece uma indeterminação (denominador igual a zero), o que não é nada interessante pra gente. No entanto, existem algumas soluções para quando acontece esse tipo de coisa, então não há com que se preocupar. Vamos colocar apenas uma coordenada como zero para verificar como que fica a expressão.
Passo 3
Para o eixo , isto é, quando , temos:
Substituindo
Ressaltando que isso é válido desde que , ok? Sendo assim, podemos tirar que quando ao longo do eixo .
Passo 4
Se aproximarmos ao longo de , teremos uma função do tipo , não é mesmo? Sendo assim, teremos:
Passo 5
Como estamos fazendo , então devemos lembrar do limite trigonométrico fundamental, que nos diz:
Sendo assim, teremos:
Passo 6
O resultado que obtemos no passo foi que . No passo obtemos que . Sendo asism, podemos concluir que o limite em questão não existe, uma vez que o mesmo apresenta valores distintos para duas aproximações equivalentes. Em outras palavras: