4. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2

Passo 1

Fala meu amigo, pronto para mais uma resolução? Vou te ajudar a resolver essa atividade hoje.

Ele nos pede para calcular o seguinte:

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2

Se ele existir, ou devemos mostrar que o limite dado não existe.

Vamos tentar resolver esse limite primeiro organizando nossa função, de forma a fugir da indeterminação 0 0 .

Passo 2

Olhando para a função ali dentro do limite, vamos que podemos fatorar da seguinte maneira:

x 4 - y 4 = x 2 - y 2 x 2 + y 2

Então vamos ficar com o seguinte:

f x , y = x 4 - y 4 x 2 + y 2

Reescrevendo o numerador:

f x , y = x 2 + y 2 x 2 - y 2 x 2 + y 2

Simplificando com o denominador:

f x , y = x 2 - y 2

Assim, vemos que f x , y é uma função polinomial e, portanto, contínua. Voltando para o limite:

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2

Logo,

L = 0 2 - 0 2

Portanto,

L = 0

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2 = 0

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