Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 4 + 4 y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y e y x 4 + 4 y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Dessa forma, para verificarmos se o limite existe, vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x e, em seguida, ao longo da reta x = y .

Também iremos aproximar ao longo de y = x 2 .

Se tivermos resultados iguais, então o limite existe!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para sabermos se existe limite vamos aproximar f ( x , y ) ao longo do eixo x :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = x 2 ⋅ 0 ⋅ e 0 x 4 + 0

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , 0 = 0

Agora vamos aproximar f ( x , y ) ao longo da reta x = y :

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = x 2 x e x x 4 + 4 x 2

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = x ⋅ e x x 2 + 4

Aplicando o limite, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 0 ⋅ e 0 0 2 + 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x = 0

Passo 3

Se aproximarmos f ( x , y ) do ponto ( 0,0 ) ao longo da parábola y = x 2 teremos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x 2 = x 2 x 2 e x 2 x 4 + 4 x 4

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x 2 = x 4 e x 2 5 x 4

Cortando os termos iguais, obtemos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x 2 = e x 2 5

Aplicando o limite, temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , x 2 = 1 5  

Como f ( x , y ) tem limites diferentes ao longo de duas diferentes linhas, o limite não existe!

Resposta

O limite não existe.

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