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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.1 - Ex. 32

Faça uma correspondente entre a função e seu gráfico (identificado por I–VI). Justifique sua escolha.

(a) z = x + y

(b) z = | x y |

(c) z = 1 1 + x 2 + y 2

(d) z = ( x 2 - y 2 ) 2

(e) z = ( x - y ) 2

(f) z = s e n x + y

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Bom... a questão é bem direta... O enunciado nos deu as seguintes equações:

(a) z = x + y

(b) z = | x y |

(c) z = 1 1 + x 2 + y 2

(d) z = ( x 2 - y 2 ) 2

(e) z = ( x - y ) 2

(f) z = s e n x + y

E também nos deu os gráficos delas... mas eles não estão em ordem:

Assim, a nossa tarefa aqui é relacionar cada gráfico com cada equação!! 😉

Para resolver essa questão, vamos olhar os cortes que as funções deixam nos planos x = 0 e y = 0 .

E vamos analisar cada função em separado.

Lembre-se também que precisamos saber que a função está na forma:

z = f x , y

Passo 2

Na letra (a), temos:

z = f x , y = x + y

Agora vamos olhar os planos dimensionais fazendo uma variável ir para zero:

(Plano y z ) x = 0   → z = y

(Plano x z ) y = 0   → z = | x |

Perceba que temos um módulos simples em cada uma.

Lembra que o gráfico do módulo é um V ? Pois é!!

Assim, só pode ser o gráfico VI:

Agora vamos fazer a mesma coisa análise para as outras alternativas:

Passo 3

Na letra (b), temos:

z = f x , y = | x y |

Agora vamos olhar os planos dimensionais fazendo uma variável ir para zero:

(Plano y z ) x = 0   → z = 0

(Plano x z ) y = 0   → z = 0

Como na letra (a), o nosso gráfico também tem características de de uma função modular (descrevendo um V ).

Mas aqui quando zeramos uma das variáveis, a função toca no zero dos respectivos eixos.

Assim, só pode ser o gráfico V:

Passo 4

Na letra (c), temos:

z = f x , y = 1 1 + x 2 + y 2

Agora vamos olhar os planos dimensionais fazendo uma variável ir para zero:

(Plano y z ) x = 0   → z = 1 1 + y 2

(Plano x z ) y = 0   → z = 1 1 + x 2

Perceba que quando x e y se aproximam da origem, o valor de z é máximo.

Assim, só pode ser o gráfico I:

Passo 5

Na letra (d), temos:

z = f x , y = ( x 2 - y 2 ) 2

Agora vamos olhar os planos dimensionais fazendo uma variável ir para zero:

(Plano y z ) x = 0   → z = y 4

(Plano x z ) y = 0   → z = x 4

Note que em z = 0 (plano x y ):

x 2 = y 2 → x = ± y

Logo, só pode ser o gráfico IV:

Passo 6

Na letra (e), temos:

z = f x , y = ( x - y ) 2

Agora vamos olhar os planos dimensionais fazendo uma variável ir para zero:

(Plano y z ) x = 0   → z = y 2

(Plano x z ) y = 0   → z = x 2

Note que em z = 0 (plano x y ), temos:

x = y

Só pode ser o gráfico II:

Passo 7

Na letra (f), temos:

z = f x , y = s e n x + y

Agora vamos olhar os planos dimensionais fazendo uma variável ir para zero:

(Plano y z ) x = 0   → z = s e n ( y )

(Plano x z ) y = 0   → z = s e n ( x )

O único gráfico que tem a aparência de senóide (“ondas”) é o III:

Resposta

(a) VI

(b) V

(c) I

(d) IV

(e) II

(f) III

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