Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f x , t = a r c t g   ( x t )

Passo 1

Opa, tudo bom? Questãozinha de derivadas parciais, bora lá!

Para determinar derivadas parciais, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Ou seja: Para achar a derivada parcial em x a gente vai tratar t como se fosse um número qualquer e derivar normal em relação a x .

Daí a gente faz isso para x e para t e temos nossa resposta!

Nessa questão, é importante relembrar a derivada de a r c t g   ( x ) , que é igual a 1 1 + x ²

Passo 2

Temos a nossa função

f x , t = a r c t g ( x   t )

*Lembrando que a derivada de a r c t g   ( x ) é 1 1 + x ²

Fixando t (tratando t como uma constante) e derivando em relação a x , teremos:

f x = a r c t g ( x   t )

Mas veja que nesse caso não conseguimos separar x e t facilmente, para isso é necessário fazer a regra da cadeia.

Lembrando do formato da regra da cadeia:

Se temos uma função

z = f ( g x )

Onde podemos chamar

g x = u

A derivada dessa função vai ser dada por:

d z d x = d f u d u ⋅ d g x d x

O famoso: “Derivada de fora vezes a derivada de dentro”

Dessa forma, para esse caso temos:

d f d x = d   a r c t g ( u ) d u ⋅ d x   t d x

f x = t 1 + t x ²

Da mesma forma, repetimos o processo: Tratamos x como constante e derivamos a função em relação a t :

f t = a r c t g ( x   t )

d f d t = d   a r c t g ( u ) d u ⋅ d x   t d t

f t = 1 1 + t x ² ⋅ x 2 t

f t = x 2 t ( 1 + t x 2 )

Resposta

f x = t 1 + t x ²

f t = x 2 t ( 1 + t x 2 )

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