Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... o enunciado quer que a gente resolva o seguinte limite (se ele existir):

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2

Caso ele não exista, devemos demonstrar.

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Além disso, podemos perceber que no numerador da função existe uma simetria muito conhecida nossa... a cilíndrica

x 2 + y 2 = r 2

Então para resolver esse problema, vamos mudar as coordenadas da função para cilíndricas

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E fazer r tender a 0 .

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando a mudança de coordenadas no limite, chegamos em:

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 → lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ r 2

Simplificando a função...

lim r → 0 ⁡ r 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ r

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ θ

E fazendo r tendendo a 0 , vemos que, independentemente do ângulo θ , o limite tende ao mesmo valor (a função tende a 0 em todas as direções)

lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sin ⁡ θ = 0

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

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Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 + y 2 = 0

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