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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.Exercícios Práticos - Ex. 18

Determine o limite ou explique por que ele não existe.

lim x → 64 ⁡ x 2 3   -   16 x   - 8

Passo 1

Para calcular o limite, devemos notar que uma simples substituição de x por 64 resultará em uma indeterminação com 0 no denominador da fração. Por isso, devemos desenvolver o polinômio.

Passo 2

Sabemos que ( a   -   b ) ( a   +   b )   = a 2 -   b 2

lim x → 64 ⁡ x 2 3   -   16 x   - 8   =   lim x → 64 ⁡ x 2 3   -   16 x   - 8   ∙   x   +   8 x   +   8

lim x → 64    ⁡ x 2 3   -   16 x   - 64   ∙   x   +   8 1

Passo 3

Note que podemos escrever x 2 3   -   16   como ( x 1 3   -   4 ) ( x 1 3   +   4 )

Também podemos escrever x   - 64 como ( x 2 3   +   4 x 1 3   +   16 ) ( x 1 3   -   4 )

lim x → 64    ⁡ ( x 1 3   -   4 ) ( x 1 3   +   4 ) ( x 2 3   +   4 x 1 3   +   16 ) ( x 1 3   -   4 )     ∙   x   +   8 1

lim x → 64    ⁡ ( x 1 3   +   4 ) ( x 2 3   +   4 x 1 3   +   16 )     ∙   x   +   8 1

Passo 4

Note que   ( x 2 3   +   4 x 1 3   +   16 )   para x = 64 nunca será 0. Logo, é possível fazer a substituição.

lim x → 64    ⁡ ( x 1 3   +   4 ) ( x 2 3   +   4 x 1 3   +   16 )     ∙   x   +   8 1

64 1 3 + 4 64 2 3 + 4 ∙ 64 1 3 + 16   ∙   64   +   8 1

4 + 4 16 + 4 ∙ 4 + 16   ∙   8   +   8 1

8 3 ∙ 16   ∙   16 1   =   8 3

Resposta

lim x → 64 ⁡ x 2 3   -   16 x   - 8 =   8 3

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