Determine o limite infinito.

lim x → π - ⁡ cot ⁡ x

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:

lim x → π - ⁡ cot ⁡ x

Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.

Mas qual infinito? Positivo ou negativo??

Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.

Como assim??

Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando x → π - (quando x tende a π pelos números menores que ele).

Pera... mas cadê o numerador e o denominador??? Bom... lembre-se que a cotangente é dada pela razão entre o cosseno e o seno, ou seja:

lim x → π - ⁡ cot ⁡ x = lim x → π - ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x

Portanto, com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!

Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:

lim x → π - ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x = lim x → π - ⁡ cos ⁡ x lim x → π - ⁡ sin ⁡ x

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Analisando primeiramente o numerador:

lim x → π - ⁡ cos ⁡ x

Imagine o que acontece quando x tende a π por um ângulo ligeiramente menor que ele (dado pelo ponto verde). Vamos analisar isso pelo círculo trigonométrico do cosseno:

Perceba que o valor do limite tenderá a um número negativo e próximo de 1 .

Passo 3

Agora vamos analisar o denominador:

lim x → π - ⁡ sin ⁡ x

Imagine o que acontece quando x tende a π por um ângulo ligeiramente menor que ele (dado pelo ponto verde). Vamos analisar isso pelo círculo trigonométrico do seno:

Perceba que o valor do limite tenderá a um número positivo e próximo de 0 .

Passo 4

Dessa forma, temos uma divisão de um número negativo por um positivo.

E uma divisão entre um número negativo e um positivo resulta em um número negativo, ou seja:

lim x → π - ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x = - 1 0 ∴

lim x → π - ⁡ cos ⁡ x sin ⁡ x = - ∞

Analisando parte do gráfico da função cot ⁡ x no ponto de interesse para comprovar a nossa análise:

Podemos então confirmar que quando x → π - (aproximadamente x = 3,14 ), a nossa função tende a - ∞ .

Resposta

lim x → π - ⁡ cot ⁡ x = - ∞

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