Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.2 - Ex. 38
Determine o limite infinito.
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá o seguinte limite:
Ainda de acordo com o enunciado, o resultado desse limite é um número que tende ao infinito.
Mas qual infinito? Positivo ou negativo??
Para descobrirmos isso, teremos que estudar bem o nosso limite.
Como assim??
Bom... basicamente vamos ver o que acontece com o sinal do numerador e do denominador quando (quando tende a pelos números menores que ele).
Pera... mas cadê o numerador e o denominador??? Bom... lembre-se que a cotangente é dada pela razão entre o cosseno e o seno, ou seja:
Portanto, com os sinais de cada um, podemos definir o sinal geral do nosso limite!!
Ah, a gente pode fazer isso por conta da seguinte propriedade:
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Analisando primeiramente o numerador:
Imagine o que acontece quando tende a por um ângulo ligeiramente menor que ele (dado pelo ponto verde). Vamos analisar isso pelo círculo trigonométrico do cosseno:
Perceba que o valor do limite tenderá a um número negativo e próximo de .
Passo 3
Agora vamos analisar o denominador:
Imagine o que acontece quando tende a por um ângulo ligeiramente menor que ele (dado pelo ponto verde). Vamos analisar isso pelo círculo trigonométrico do seno:
Perceba que o valor do limite tenderá a um número positivo e próximo de .
Passo 4
Dessa forma, temos uma divisão de um número negativo por um positivo.
E uma divisão entre um número negativo e um positivo resulta em um número negativo, ou seja:
Analisando parte do gráfico da função no ponto de interesse para comprovar a nossa análise:
Podemos então confirmar que quando (aproximadamente ), a nossa função tende a .