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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5s

Calcule.

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) onde f (x) = x^2 - 3 x

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f (x) = x^2 - 3 x no limite:

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 - 3 (x + h) - (x^2 - 3 x))/(h)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao quadrado:

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 - 3 (x + h) - (x^2 - 3 x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x^2 + 2 x h + h^2) - 3 x - 3 h - x^2 + 3 x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (x^2 + 2 x h + h^2 - 3 h - x^2)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (2 x h + h^2 - 3 h)/(h)

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

underset(h -> 0)(lim) (2 x h + h^2 - 3 h)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (h (2 x + h - 3))/(h) = underset(h -> 0)(lim) 2 x + h - 3

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

underset(h -> 0)(lim) 2 x + h - 3 = 2 x + 0 - 3 = 2 x - 3

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 - 3 (x + h) - (x^2 - 3 x))/(h) = 2 x - 3

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Calculeunderset(x - 1)(lim) (root(3)(3 x + 5) - 2)/(x^2 - 1)
Calculeunderset(x - - 1)(lim) root(3)((x^3 + 1)/(x + 1))
Calculeunderset(x - 1)(lim) (sqrt(x^2 + 3) - 2)/(x^2 - 1)
Seja f definida R . Suponha que underset(x - 0)(lim) (f (x))/(x) = 1 . Calculeunderset(x - 1)(lim) (f (x^2 - 1))/(x - 1)
Seja f definida R e seja p um real dado. Suponha que lim x → p ⁡ f x - f p x - p = L . Calcule lim h → 0 ⁡ f p + h - f p - h h