Determine o limite lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3

Passo 1

Antes de tudo, precisamos nos lembrar de uma coisa:

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3 =     l i m x → 0 1 x 1 3 2

Usando aquela regrinha que diz “quem tá na chuva passa pra sombra, quem tá na sombra passa pra chuva”.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente aqui, já que estamos com uma divisão

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3 =     l i m x → 0 1 x 1 3 2 =   l i m x → 0   1 l i m x → 0 x 1 3 2

Passo 3

Perceba que temos uma potência de x, nesse caso vamos da uma puladinha na potência, porque ela é uma função contínua, então a gente não tá fazendo nenhuma merda se fizermos isso. Bora lá?

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3 =     l i m x → 0 1 x 1 3 2 =   l i m x → 0   1 l i m x → 0 x 1 3 2 = l i m x → 0 1 l i m x → 0   x 1 3 2  

Passo 4

Como 1 não depende de x, l i m x → 0 1 = 1 , e assim nosso limite fica:

l i m x → 0   1 l i m x → 0 x 1 3 2 = l i m x → 0 1 l i m x → 0   x 1 3 2 = 1 0

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se ou - ∞ .

Passo 5

Vamos analisar se o limite será ou - ∞ .

Perceba que estamos nos aproximando de zero, neste caso, independentemente de valores positivos, ou negativos, vamos obter valores positivos por causa da potência ao quadrado lá nas contas, então teríamos :

1 p o s i t i v o = p o s i t i v o

Logo, (ai tu escreve assim bem bonitinho pra seu professor te dá os pontos da questão) lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3 =     l i m x → 0 1 x 1 3 2 = ∞

Resposta

  lim x → 0 ⁡ 1 x 2 3 =     l i m x → 0 1 x 1 3 2 = ∞

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