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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 48

Determine o limite underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^((2)/(3)))

Passo 1

Antes de tudo, precisamos nos lembrar de uma coisa:

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^((2)/(3))) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/((x^((1)/(3)))^2)

Usando aquela regrinha que diz “quem tá na chuva passa pra sombra, quem tá na sombra passa pra chuva”.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente aqui, já que estamos com uma divisão

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^((2)/(3))) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/((x^((1)/(3)))^2) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) (x^((1)/(3)))^2)

Passo 3

Perceba que temos uma potência de x, nesse caso vamos da uma puladinha na potência, porque ela é uma função contínua, então a gente não tá fazendo nenhuma merda se fizermos isso. Bora lá?

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^((2)/(3))) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/((x^((1)/(3)))^2) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) (x^((1)/(3)))^2) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/((underset(x -> 0)(l i m) x^((1)/(3)))^2)

Passo 4

Como 1 não depende de x, underset(x -> 0)(l i m) 1 = 1 , e assim nosso limite fica:

(underset(x -> 0)(l i m) 1)/(underset(x -> 0)(l i m) (x^((1)/(3)))^2) = (underset(x -> 0)(l i m) 1)/((underset(x -> 0)(l i m) x^((1)/(3)))^2) = (1)/(0)

Não escreve essa última igualdade na prova, seu professor não vai curtir muito, fiz isso só pra tu ver que o numerador é não nulo enquanto o denominador é. Ou seja, nossas contas estão indo para infinito. Resta-nos saber se oo ou - oo .

Passo 5

Vamos analisar se o limite será oo ou - oo .

Perceba que estamos nos aproximando de zero, neste caso, independentemente de valores positivos, ou negativos, vamos obter valores positivos por causa da potência ao quadrado lá nas contas, então teríamos :

(1)/(p o s i t i v o) = p o s i t i v o

Logo, (ai tu escreve assim bem bonitinho pra seu professor te dá os pontos da questão) underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^((2)/(3))) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/((x^((1)/(3)))^2) = oo

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (1)/(x^((2)/(3))) = underset(x -> 0)(l i m) (1)/((x^((1)/(3)))^2) = oo

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Estime o valor do limite (se existir) pela avaliação da função nos números dados (usar 6 casas decimais). lim x → 3 ⁡ x 2 - 3 x x 2 - 9 x = 3,1 ; 3,05 ; 3,01 ; 3,001 ; 2,9 ; 2,95 ; 2,999 ; 2,9999
Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas. lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = 2lim x → 1 + ⁡ f x = - 2 f 1 = 2
Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas. lim x → 0 - ⁡ f x = 2lim x → 0 + ⁡ f x = 0 lim x → 4 - ⁡ f x = 3 lim x → 4 + ⁡ f x = 0 f 0 = 2f 4 = 1
Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. Caso tenha um dispositivo de gráficos, usar para confirmar o resultado. lim θ → 0 ⁡ sin ⁡ 3 θ tan ⁡ 2 θ
Esboce o gráfico de um exemplo de função f que satisfaça todas as condições dadas. lim x → 3 + ⁡ f x = 4 lim x → 3 - ⁡ f x = 2lim x → - 2 ⁡ f x = 2 f 3 = 3f - 2 = 1