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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 40

Determine o limite a seguir

underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y c o t g 5 y)/(y c o t g 4 y)

Passo 1

Já sabemos que

underset(theta -> 0)(lim) (s e n theta)/(theta) = underset(theta -> 0)(lim) (theta)/(s e n theta) = 1

Precisamos encontrar uma expressão parecida com essa então...

Sabemos que

c o t g x = (cos x)/(sen x)

𝐸ntão

underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y c o t g 5 y)/(y c o t g 4 y) = underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y s e n 4 y cos 5 y)/(y c o s 4 y s e n 5 y)

Podemos escrever isso como

underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y s e n 4 y cos 5 y)/(y c o s 4 y s e n 5 y) = underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y)/(y) . (sen 4 y)/(cos 4 y) . (cos 5 y)/(sen 5 y) . (3 . 4 . 5 y)/(3 . 4 . 5 y)

Reorganizando, teremos

underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y)/(3 y) . (sen 4 y)/(4 y) . (5 y)/(sen 5 y) . (cos 5 y)/(cos 4 y) . (3 . 4)/(5)

Isso será igual a

underset(y -> 0)(lim) (s e n 3 y)/(3 y) . (sen 4 y)/(4 y) . (5 y)/(sen 5 y) . (cos 5 y)/(cos 4 y) . (3 . 4)/(5) = 1 . 1 . 1 . 1 . (12)/(5) = (12)/(5)

Resposta

(12)/(5)

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underset(x - pi^+)(lim) (tan x)/(x - pi) (Sugestão: seja t = x - pi )
underset(x - 0)(lim) (tan^4 2 x)/(4 x^4)
underset(z - 0)(lim) (1 - cos 2 z)/(4 z)
underset(y - 0^+)(lim) (sin 4 y)/(cos 3 y - 1)
Ache o limite, se existir.underset(t - 0)(lim) (sin 5 t)/(sin 2 t)