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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 16

underset(x -> 0)(lim) (tan^4 2 x)/(4 x^4)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite por 4 e apliquemos a propriedade da potência de limites.

underset(x -> 0)(lim) (tan^4 2 x)/(4 x^4) * (4)/(4)

4 underset(x -> 0)(lim) (tan^4 2 x)/(16 x^4)

4 * (underset(x -> 0)(lim) (tan 2 x)/(2 x))^4

Passo 2

Agora vamos substituir 2 x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

2 x = u

x -> 0 => u -> 0

4 * (underset(u -> 0)(lim) (tan u)/(u))^4

Passo 3

Agora apliquemos a relação tan x = (sin x)/(cos x) e a propriedade da multiplicação de limites.

4 * (underset(u -> 0)(lim) (1)/(u) * (sin u)/(cos u))^4

4 * (underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) * underset(u -> 0)(lim) (1)/(cos u))^4

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

4 * underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) * underset(u -> 0)(lim) (1)/(cos u)

4 * ( 1 ) * (1)/(cos 0)

4 * ( 1 ) * ( 1 )

4

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (tan^4 2 x)/(4 x^4) = 4

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