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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 24

underset(x -> pi^+)(lim) (tan x)/(x - pi)

(Sugestão: seja t = x - pi )

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos substituir pi - x por t como sugerido no enunciado e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

t = x - pi

x -> pi^+ => t -> 0^+

underset(t -> 0^+)(lim) (tan (t - pi))/(t)

Passo 2

Agora vamos usar a propriedade de arco suplementar - tan t = tan (pi - t) e ângulo replementar - tan t = tan (- t) .

underset(t -> 0^+)(lim) (tan (- (pi - t)))/(t)

underset(t -> 0^+)(lim) (- tan (pi - t))/(t)

underset(t -> 0^+)(lim) (tan t)/(t)

Passo 3

Agora apliquemos a relação tan t = (sin t)/(cos t) e a propriedade da multiplicação de limites.

underset(t -> 0^+)(lim) (sin t)/(t cos t)

underset(t -> 0^+)(lim) (sin t)/(t) * underset(t -> 0^+)(lim) (1)/(cos t)

Passo 4

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(t -> 0)(lim) (sin t)/(t) = 1 .

( 1 ) * (1)/(cos ( 0 ))

( 1 ) * (1)/(1)

1

Resposta

underset(x -> pi^+)(lim) (tan x)/(x - pi) = 1

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