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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 20

underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y)/(cos 3 y - 1)

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente vamos multiplicar e dividir o limite pelo conjugado de (cos 3 y - 1) .

underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y)/(cos 3 y - 1) * ((cos 3 y + 1)/(cos 3 y + 1))

underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y (cos 3 y + 1))/(cos^2 3 y - 1^2)

Passo 2

Agora apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 3 y + cos^2 3 y = 1

- sin^2 3 y = cos^2 3 y - 1

underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y (cos 3 y + 1))/(- sin^2 3 y)

Passo 3

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(36 y^2) e aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite.

underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y (cos 3 y + 1))/(- sin^2 3 y) * ((1)/(12 y^2))/((1)/(12 y^2))

( - 1 ) ((1)/(9))/((1)/(4)) underset(y -> 0^+)(lim) ((sin 4 y)/(4 y) * ((cos 3 y + 1))/(y))/((sin^2 3 y)/(9 y^2))

Passo 4

Agora vamos aplicar a propriedade de multiplicação de limites, divisão de limites e potência de limites. Em seguida vamos substituir 3 y por t, 4y por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

( - 1 ) (4)/(9) (underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y)/(4 y) * underset(y -> 0^+)(l i m) ((cos 3 y + 1))/(y))/(underset(y -> 0^+)(lim) (sin^2 3 y)/(9 y^2))

( - 1 ) (4)/(9) ((underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y)/(4 y)) * (underset(y -> 0^+)(l i m) ((cos 3 y + 1))/(y)))/((underset(y -> 0^+)(lim) (sin 3 y)/(3 y))^2)

3 y = t , 4 y = u

y -> 0^+ => t -> 0^+ , y -> 0^+ => u -> 0^+

( - 1 ) (4)/(9) ((underset(u -> 0^+)(lim) (sin u)/(u)) * (underset(y -> 0^+)(l i m) ((cos 3 y + 1))/(y)))/((underset(t -> 0^+)(lim) (sin t)/(t))^2)

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(x -> 0)(lim) (sin x)/(x) = 1 .

( - 1 ) (4)/(9) ((1) * (underset(y -> 0^+)(l i m) ((cos 3 y + 1))/(y)))/((1)^2)

( - 1 ) (4)/(9) oo

- oo

Resposta

underset(y -> 0^+)(lim) (sin 4 y)/(cos 3 y - 1) = - oo

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