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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 13

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(1 - cos^2 ((1)/(2) x))

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação (0)/(0) para resolvermos o limite devemos manipulá-la de forma a não alterar o seu resultado. Primeiramente apliquemos a identidade fundamental da trigonometria no limite.

sin^2 theta + cos^2 theta = 1

sin^2 ((1)/(2) x) + cos^2 ((1)/(2) x) = 1

sin^2 ((1)/(2) x) = 1 - cos^2 ((1)/(2) x)

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(sin^2 ((1)/(2) x))

Passo 2

Agora vamos substituir (1)/(2) x por u e mudar a aproximação desse limite de acordo com a substituição.

(1)/(2) x = u

x = 2 u

x -> 0 => u -> 0

underset(u -> 0)(lim) (3 ( 2 u )^2)/(sin^2 (u))

underset(u -> 0)(lim) (3 * 4 * u^2)/(sin^2 (u))

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade de colocar a constante fora do limite e em seguida aplicar a propriedade da potência de limites.

12 * underset(u -> 0)(lim) (u^2)/(sin^2 (u))

12 * (underset(u -> 0)(lim) (u)/(sin u))^2

Passo 4

Agora vamos multiplicar e dividir o limite por (1)/(u) e aplicar a propriedade da divisão de limites.

12 * (underset(u -> 0)(lim) (u)/(sin u) * ((1)/(u))/((1)/(u)))^2

12 * ((underset(u -> 0)(lim) 1)/(underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)))^2

Passo 5

Por fim utilizaremos do limite fundamental underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u) = 1 .

12 * ((underset(u -> 0)(lim) 1)/(underset(u -> 0)(lim) (sin u)/(u)))^2

12 * ((1)/(1))^2

12

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (3 x^2)/(1 - cos^2 ((1)/(2) x)) = 12

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