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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.4 - Ex. 52

Seja

x 2 s e n   1 / x ,     x < 0     x ,                                                   x > 0

Determine

a) lim x → 0 + ⁡ f ( x )

b)   lim x → 0 + ⁡ f ( x )

c) Com base em suas conclusões nos itens (a) e (b), você pode dizer algo a respeito de lim x → 0 ⁡ f ( x ) ? Justifique suas respostas

Passo 1

Vamos primeiro resolver a letra a)

Podemos observar que

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x = 0 = 0

Comprovamos isso pois

x - 0 < ϵ

Ou seja

- ϵ < x < ϵ

Isso significa que

0 < x < ϵ 2

Para qualquer x positivo.

Escolhendo δ = ϵ 2 teremos

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 0

Passo 2

Vamos agora a letra b)

Podemos observar que

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 - ⁡ x 2 s e n   1 / x = 0

Pelo teorema-sanduíche temos que

- x 2 ≤ x 2 s e n   1 x ≤ x 2

Para todo x ≠ 0

Desde que

x 2 - 0 = - x 2 - 0 = x 2 < ϵ

Sempre que

x < ϵ

Escolhendo

δ = ϵ

Obtemos então

| x 2 s e n   1 x - 0 | < ϵ

Se tivermos

- δ < x < 0

Passo 3

Vamos a letra c)

Sabemos que os limites a esquerda e direita são iguais a 0, portanto

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

Resposta

a)   lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = 0

b) lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = 0

c) lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 0

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