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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 25

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> - 5)(lim) (x^2 + 3 x - 10)/(x + 5)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 5 e a função f (x) = (x^2 + 3 x - 10)/(x + 5) . Então, temos que

f (- 5) = (( - 5 )^2 + 3 ( - 5 ) - 10)/(( - 5 ) + 5) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso o denominador já está fatorado, então basta olhar o numerador. Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a x^2 + b x + c pode ser reescrito como:

a x^2 + b x + c = a (x - x_1) (x - x_2)

Onde x_1 e x_2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 , b = 3 , c = - 10 e

x^2 + 3 x - 10 = 1 ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

x_1 , x_2 = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- 3 +- sqrt(3^2 - 4.1 . ( - 10 )))/(2.1) = 2 , - 5

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

x^2 + 3 x - 10 = 1 (x - x_1) (x - x_2) = 1 . (x - (- 5)) (x - (2)) = ( x + 5 ) ( x - 2 )

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> - 5)(lim) (x^2 + 3 x - 10)/(x + 5) = underset(x -> - 5)(lim) (( x + 5 ) ( x - 2 ))/(x + 5) = underset(x -> - 5)(lim) (( x - 2 ))/(1)

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> - 5)(lim) (( x - 2 ))/(1) = ((- 5) - 2)/(1) = - 7

Resposta

underset(x -> - 5)(lim) (x^2 + 3 x - 10)/(x + 5) = - 7

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