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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 40

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> - 2)(lim) (x + 2)/(sqrt(x^2 + 5) - 3)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 2 e a função f (x) = (x + 2)/(sqrt(x^2 + 5) - 3) . Então, temos que

f (- 2) = (( - 2 ) + 2)/(sqrt(( - 2 )^2 + 5) - 3) = (0)/(sqrt(9) - 3) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de sqrt(x^2 + 5) - 3 é:

sqrt(x^2 + 5) + 3

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

underset(x -> - 2)(lim) ((x + 2)/(sqrt(x^2 + 5) - 3)) * ((sqrt(x^2 + 5) + 3)/(sqrt(x^2 + 5) + 3)) = underset(x -> - 2)(lim) (( x + 2 ) ( sqrt(x^2 + 5) + 3 ))/(( sqrt(x^2 + 5) - 3 ) ( sqrt(x^2 + 5) + 3 ))

Agora vamos olhar para o denominador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = sqrt(x^2 + 5) e b = 3 . Então o numerador vai ficar

( sqrt(x^2 + 5) - 3 ) ( sqrt(x^2 + 5) + 3 ) = (sqrt(x^2 + 5))^2 - (3)^2 = x^2 + 5 - 9 = x^2 - 4

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas x^2 - 4 = x^2 - 2^2 é um caso de diferença de quadrados com a = x e b = 2 , ou seja:

(sqrt(x^2 + 12) - 4) (sqrt(x^2 + 12) + 4) = x^2 - 4 = (x + 2) (x - 2)

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> - 2)(lim) (( x + 2 ) ( sqrt(x^2 + 5) + 3 ))/(( sqrt(x^2 + 5) - 3 ) ( sqrt(x^2 + 5) + 3 )) = underset(x -> - 2)(lim) (( x + 2 ) ( sqrt(x^2 + 5) + 3 ))/(( x + 2 ) ( x - 2 )) = underset(x -> - 2)(lim) (( sqrt(x^2 + 5) + 3 ))/(( x - 2 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> - 2)(lim) (( sqrt(x^2 + 5) + 3 ))/(( x - 2 )) = (sqrt((- 2)^2 + 5 ) + 3)/(((- 2) - 2)) = (sqrt(9) + 3)/(- 4) = - (6)/(4) = - (3)/(2)

Resposta

underset(x -> - 2)(lim) (x + 2)/(sqrt(x^2 + 5) - 3) = - (3)/(2)

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