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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 41

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> - 3)(lim) (2 - sqrt(x^2 - 5))/(x + 3)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 3 e a função f (x) = (2 - sqrt(x^2 - 5))/(x + 3) . Então, temos que

f (- 3) = (2 - sqrt(( - 3 )^2 - 5))/(( - 3 ) + 3) = (2 - sqrt(4))/(0) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de 2 - sqrt(x^2 - 5) é:

2 + sqrt(x^2 - 5)

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação e a substituição do numerador pela forma fatorada

underset(x -> - 3)(lim) ((2 - sqrt(x^2 - 5))/(x + 3)) * ((2 + sqrt(x^2 - 5))/(2 + sqrt(x^2 - 5))) = underset(x -> - 3)(lim) (( 2 - sqrt(x^2 - 5) ) ( 2 + sqrt(x^2 - 5) ))/(( x + 3 ) ( 2 + sqrt(x^2 - 5) ))

Agora vamos olhar para o numerador e vamos precisar lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = 2 e b = sqrt(x^2 - 5) . Então o numerador vai ficar

(2 - sqrt(x^2 - 5)) (2 + sqrt(x^2 - 5)) = (2)^2 - (sqrt(x^2 - 5))^2 = 4 - (x^2 - 5) = 9 - x^2

Sempre devemos tentar deixar os termos na forma mais fatorada possível, isso ajuda muito nas contas! Talvez você não esteja vendo, mas 9 - x^2 = 3^2 - x^2 é um caso de diferença de quadrados com a = 3 e b = x , ou seja:

(2 - sqrt(x^2 - 5)) (2 + sqrt(x^2 - 5)) = 9 - x^2 = (3 + x) (3 - x)

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> - 3)(lim) (( 2 - sqrt(x^2 - 5) ) ( 2 + sqrt(x^2 - 5) ))/(( x + 3 ) ( 2 + sqrt(x^2 - 5) )) = underset(x -> - 3)(lim) (( 3 + x ) ( 3 - x ))/(( x + 3 ) ( 2 + sqrt(x^2 - 5) )) = underset(x -> - 3)(lim) (( 3 - x ))/(( 2 + sqrt(x^2 - 5) ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> - 3)(lim) (( 3 - x ))/(( 2 + sqrt(x^2 - 5) )) = (3 - ( - 3 ))/(2 + sqrt((- 3)^2 - 5)) = (6)/(2 + sqrt(4)) = (6)/(4) = (3)/(2)

Resposta

underset(x -> - 3)(lim) (2 - sqrt(x^2 - 5))/(x + 3) = (3)/(2)

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Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça todas as condições dadas lim x → 3 ⁡ f ( x ) = - ∞ lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 2 f 0 = 0 fép a r é
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( a ) Use o gráfico de f x = 1 - 2 x x para estimar o valor de lim x → ∞ ⁡ f ( x ) correto até a segunda casa decimal. ( b ) Use a tabela de valores de f ( x ) para estimar o limite até quatro casas d
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