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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 18

Determine a linearização de f x = x + 1 + s i n ⁡ ( x ) em x = 0. Como ela está relacionada com as linearizações individuais de x + 1 e s i n ⁡ ( x ) em x = 0?

Passo 1

Primeiramente precisamos derivar f(x):

f ' x = 1 2 x + 1 × 1 + c o s ⁡ ( x )

Passo 2

Depois precisamos aplicar x=0 na função e na sua derivada:

f 0 = 0 + 1 + sin ⁡ 0 = 1

f ' 0 = 1 2 0 + 1 + cos ⁡ 0 = 1 2 + 1 = 3 2

Agora multiplicar o resultado da derivada por ( x - a ) aplicando a = 0 ;

3 2 x - 0 = 3 2 x

Passo 3

Já temos nossa linearização se juntarmos os termos:

L x = 3 2 x + 1

Se formos analisar separadamente a função x + 1 :

Temos que f ( 0 ) é :

f 0 = 1

Temos a derivada dela como:

f ' x = 1 2 x + 1 → f ' 0 = 1 2

Se multiplicar por ( x - 0 ) temos 1 2 x

Logo sua parcela linearizadora é:

L 1 x = 1 + 1 2 x

Agora analisando s i n ( x ) :

Temos que f ( 0 ) é:

f 0 = sin ⁡ 0 = 0

E sua f ' ( 0 ) é

f ' 0 = cos ⁡ 0 = 1

Se multiplicar o resultado da derivada por x temos: x . Logo:

L 2 ( x ) = x

Agora se fizermos L 1 x + L 2 ( x ) vemos que ela dá exatamente igual a L 3 , então conseguimos chegar na seguinte conclusão.

A linearização das somas( soma das duas funções ) é igual a soma das linearizações ( linearização da primeira função mais a segunda função ).

Resposta

L x = 3 2 x + 1

E a linearização das somas é a soma das linearizações.

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