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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.5 - Ex. 7

Determine a massa e o centro de massa da l��mina que ocupa a região D e tem função densidade ρ .

D é limitada por y = 1 - x 2 e y = 0 ; ρ x , y = k y .

Passo 1

E aí, campeão dos cálculos! Preparado para mais um desafio matemático? Mãos à obra!

Essa questão nos pede para determinar a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D limitada por y = 1 - x 2 e y = 0 ; ρ x , y = k y .

Para resolvê-la, vamos seguir um processo sistemático que inclui a explicação dos conceitos envolvidos e a mudança de coordenadas. Vamos começar:

Primeiro, precisamos lembrar as definições para massa, centro de massa e momentos de inércia de uma lâmina com densidade variável.

  • Massa ( m ):

    • m = ∬ D ρ x , y d A

    Onde ρ x , y é a densidade e d A é o elemento de área.

  • Centro de Massa ( x ¯ , y ¯ ) :

x ¯ = 1 m ∬ D x   ρ x , y d A

y ¯ = 1 m ∬ D y   ρ x , y d A

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região D. Ela é delimitada pelas curvas y = 1 - x 2 e y = 0 .

Observando o esboço, vemos que é uma região do tipo I, onde os limites de y são funções de x e os limites de x são constantes.

Portanto, para esta região temos:

- 1 ≤ x ≤ 1

E

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 3

Agora, para calcular a massa, integramos a função densidade ρ x , y = k y sobre a região D:

m = ∬ D ρ x , y d A = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y d y d x

Vamos resolver a integral interna primeiro:

∫ 0 1 - x 2 k y   d y = k ∫ 0 1 - x 2 y   d y =

k y 2 2 0 1 - x 2 = k 1 - x 2 2 2

Agora, resolvemos a integral externa:

m = ∫ - 1 1 k 1 - x 2 2 2 d x = k 2 ∫ - 1 1 ( 1 - 2 x 2 + x 4 ) d x

Vamos dividir a integral em três partes, para facilitar os cálculos:

∫ - 1 1 ( 1 - 2 x 2 + x 4 ) d x = ∫ - 1 1 ( 1 ) d x - 2 ∫ - 1 1 ( x 2 ) d x + ∫ - 1 1 ( x 4 ) d x

Calculando cada integral separadamente:

∫ - 1 1 1 d x = x - 1 1 = ( 1 - ( - 1 ) ) = 2

∫ - 1 1 x 2 d x = x 3 3 - 1 1 = 1 3 3 - - 1 3 3 = 2 3

∫ - 1 1 ( x 4 ) d x = x 5 5 - 1 1 = 1 5 5 - - 1 5 5 = 2 5

Substituindo:

∫ - 1 1 1 - 2 x 2 + x 4 d x = k 2 2 - 2 .   2 3 + 2 5

Reescrevendo as frações com o mesmo denominador:

30 15 - 2 0 1 5 + 6 1 5 = 16 15

Portanto, a massa é:

k 2 . 16 15 = 8 k 15

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma das coordenadas do centro de massa. Começando pela coordenada x - , temos:

x - = ∬ D x ρ x , y d A m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 x k y d y d x m

x - = ∫ - 1 1 k x 1 - x 2 2 2 d x m

A função x k y é ímpar em relação a x e simétrica em relação ao intervalo [ - 1,1 ] , então a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

x - = 0

Já para a coordenada y - , temos:

y - = ∬ D y ρ x , y d A m = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 k y 2 d y d x m

Resolvemos a integral interna primeiro:

∫ 0 1 - x 2 k y 2 d y = k ∫ 0 1 - x 2 y 2 d y = k y 3 3 0 1 - x 2 = k 1 - x 2 3 3 - 0

Agora, resolvemos a integral externa:

y - = ∫ - 1 1 k 1 - x 2 3 3 d x m = k 3 ⋅ ∫ - 1 1 1 - 3 x 2 + 3 x 4 - x 6 d x m

Dividimos a integral em quatro partes:

∫ - 1 1 1 - 3 x 2 + 3 x 4 - x 6 d x = ∫ - 1 1 ( 1 ) d x - 3 ∫ - 1 1 ( x 2 ) d x + 3 ∫ - 1 1 ( x 4 ) d x - ∫ - 1 1 ( x 4 ) d x

Já calculamos as primeiras três partes no passo 3:

∫ - 1 1 1 d x = 2

∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

∫ - 1 1 ( x 4 ) d x = 2 5

Vamos calcular a última parte:

∫ - 1 1 ( x 6 ) d x = x 7 7 - 1 1 = 1 7 7 - - 1 7 7 = 2 7

Substituindo:

∫ - 1 1 1 - 3 x 2 + 3 x 4 - x 6 d x = 2 - 3 .   2 3 + 3 2 5 - 2 7

= 2 - 2 + 6 5 - 2 7

Reescrevendo as frações com o mesmo denominador:

6 5 - 2 7 = 42 3 5 - 1 0 3 5 = 32 3 5

Portanto:

y - = k 3 ⋅ 32 35 8 k 15 = k 3 . 32 35 . 15 8 k = 4 7

Portanto, o centro de massa é dado pelo ponto:

0 , 4 7

Resposta

Massa:

m = 8 k 15

Centro de massa:

0 , 4 7

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