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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 41

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ .

E é o cubo dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a ;

ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

Passo 1

Olá, mestre dos números! Está pronto para mostrar todo o seu talento em cálculo? Vamos nessa!

Primeiro, vamos entender bem o enunciado e definir a nossa estratégia de resolução.

Nosso objetivo é encontrar a massa m do sólido E e determinar o centro de massa x - , y - , z - do sólido E .

Para isso utilizaremos integrais triplas para calcular a massa e os momentos do sólido, pois a massa é dada por

m = �� E ρ   d V

Para encontrarmos o centro de massa precisamos encontrar antes os momentos do sólido, que são:

M y z = ∭ E x   ρ   d V

M x z = ∭ E y   ρ   d V

M x y = ∭ E z   ρ   d V

Mas antes de começarmos precisamos definir os limites de integração para a região E . Como o cubo é dado por 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , 0 ≤ z ≤ a , esse já é o nosso intervalo de integração.

Passo 2

A massa m é dada por:

m = ∭ E ρ   d V = ∭ E x 2 + y 2 + z 2   d V

Definindo os limites de integração:

m = ∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Integrando em relação a x :

m = ∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z = ∫ 0 a ∫ 0 a x 3 3 + y 2 x + z 2 x 0 a d y d z

∫ 0 a ∫ 0 a a 3 3 + y 2 a + z 2 a d y d z

Integrando em relação a y :

= ∫ 0 a a 3 3 y + a y 3 3 + z 2 a y 0 a d z = ∫ 0 a a 4 3 + a 4 3 + z 2 a 2 d z

Integrando em relação a z :

= 2 a 4 3 z + a 2 z 3 3 0 a = 2 a 5 3 + a 5 3 = 3 a 5 3

Então, a massa m é:

m = a 5

Passo 3

O centro de massa é dado por ( x - , y - , z - ) onde

x - = M y z m                     y - = M x z m                     z - = M x y m

Calculando os momentos, primeiro no plano y z

M y z = ∭ E x   ρ   d V

Definindo os limites de integração:

∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a x 3 + x y 2 + x z 2   d x d y d z

Integrando em relação a x :

∫ 0 a ∫ 0 a ∫ 0 a x 3 + x y 2 + x z 2   d x d y d z = ∫ 0 a ∫ 0 a x 4 4 + x 2 y 2 2 + x 2 z 2 2 0 a d y d z

Integrando em relação a y :

= ∫ 0 a ∫ 0 a a 4 4 + a 2 y 2 2 + a 2 z 2 2 d y d z

= ∫ 0 a a 4 y 4 + a 2 y 3 6 + a 2 z 2 y 2 0 a d z = ∫ 0 a a 5 4 + a 5 6 + a 3 z 2 2   d z

Integrando em relação a z :

a 5 4 z + a 5 6 z + a 3 z 3 6 0 a = a 6 4 + a 6 6 + a 6 6

Simplificando:

= a 6 4 + a 6 3 = 3 a 6 + 4 a 6 12

M y z = 7 a 6 12

Como a função densidade ρ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 é simétrica em relação às variáveis x , y e z porque a troca das variáveis entre si não altera a forma ou o valor da função, ou seja, em todos os casos, ρ permanece igual, demonstrando a simetria da função em relação às variáveis x , y e z .

Portanto, podemos concluir que:

M y z = M x z = M x y = 7 a 6 12

Passo 4

Calculando as coordenadas do centro de massa

x - = M y z m = 7 a 6 12 a 5 = 7 a 12

y - = M x z m = 7 a 12

z - = M x y m = 7 a 12

Então temos

x - , y - , z - = 7 a 12 , 7 a 12 , 7 a 12

Resposta

m = a 5

x - , y - , z - = 7 a 12 , 7 a 12 , 7 a 12

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