Defina gradiente de uma função de três variáveis. Calcule ∇ f x , y , z sendo

f x , y , z = z arctg ⁡ x y

Passo 1

Para uma função de três variáveis f x , y , z o gradiente é definido por

∇ f x , y , z = f x x , y , z , f y x , y , z , f z x , y , z

Calculando as derivadas

f x x , y , z = z 1 + x y 2 1 y = z 1 + x 2 y

= z x 2 + y 2 y = y z x 2 + y 2

f y x , y , z = z 1 + x y 2 - x y 2

= - x z x 2 + y 2

f z x , y , z = arctg ⁡ x y

E o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = y z x 2 + y 2 , - x z x 2 + y 2 , arctg ⁡ x y

Resposta

∇ f x , y , z = y z x 2 + y 2 , - x z x 2 + y 2 , arctg ⁡ x y

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