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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.5 - Ex. 6

A reta tangente ao gráfico de y = f x , no ponto x , y , intercepta o eixo y no ponto de ordenada xy. Determine f sabendo que f 1 = 1

Passo 1

Pra começar precisamos saber o que significa cada coisa.

Primerio, como eu acho uma reta tangente?

Bem a reta tangente de uma função de apenas 1 variável é escrita assim:

a x - x 0 + y 0 = y

Sendo a o coeficiente angular e sendo que:

a = y - y 0 x - x 0 = ∆ y ∆ x

Porém, se usar variações de x   e   y , infinitesimais teremos:

a = d y d x

Beleza, mas a questão diz que ela intercepta o eixo y em dado ponto, sabemos que existe um ponto qualquer x , y tal que uma reta vai interceptar o eixo y .

Esse ponto é quando x = 0

Passo 2

Ele fala que quando a reta tangente intercepta o gráfico a ordenada é x y , ou seja, esse y arbitrário é igual a x y .

x a = 0   e   y a = x y

Daí podemos substituir na função da tangente e vermos o que dá:

Passo 3

a x - x 0 + y 0 = y

Substituindo:

d y d x x - 0 + x y = y

x d x d y + x y = y → x d x d y = y - x y

x d y d x = y 1 - x

Agora só precisamos jogar pra cada lado a função com mesma variável:

d y y = 1 - x x d x

E agora integrar:

∫ d y y = ∫ 1 - x x d x

ln ⁡ y = ln ⁡ | x | - x + c

ln ⁡ y - ln ⁡ x = - x + c

ln ⁡ y x = - x + c  

y x = e c - x

y = x e c - x  

Passo 4

Por fim queremos achar o valor pra c, como nos foi dado f 1 = 1 , podemos encontrar:

y = x e c - x → 1 = 1 e c - 1 → ln ⁡ 1 = c - 1 → c = 1

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0

Assim:

y = x e 1 - x  

Resposta

y = x e 1 - x  

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