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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 1d

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o .

f (x) = (1)/(1 - x^2) e x_0 = 0

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é achar as derivadas até a ordem 2 de f (x) :

f^' (x) = - (2 x)/((1 - x^2)^2)

f^' (x) = - (2 x)/(1 - 2 x^2 + x^4)

f^(' ') (x) = (- 2 (1 - 2 x^2 + x^4) - 2 x (- 4 x + 4 x^3))/(1 - 2 x^2 + x^4)

f^(' ') (x) = (- 2 + 4 x^2 - 2 x^4 + 4 x^2 - 8 x^4)/(1 - 2 x ² + x^4)

f^(' ') (x) = (- 2 + 8 x^2 - 10 x^4)/(1 - 2 x^2 + x^4)

Passo 2

Agora, temos que achar as derivadas no ponto x_0 que ele deu, além de f ( x_0 )

f (0) = (1)/(1 - 0^2)

f (0) = 1

f ' (0) = - (2.0)/(1 - 2.0 + 0^2)

f^' (0) = 0

f^(' ') (0) = (- 2 (1 - 2.0^2 + 0^4) - 2.0 (- 4.0 + 4.0^3))/(1 - 2.0^2 + 0^4)

f^(' ') (0) = - 2

Passo 3

Com tudo isso, basta substituir no polinômio de Taylor de ordem 2

f (x) = f (x_0) + f^' (x_0) (x - x_0) + (f^(' ') (x_0))/(2) (x - x_0)^2

f (x) = f (0) + f^' (0) (x - 0) + (f^(' ') (0))/(2) (x - 0)^2

f (x) = 1 + 0 (x - 0) - (2)/(2) (x - 0)^2

O polinômio vai ficar:

P_2 ( x ) = 1 - x ²

Resposta

P_2 ( x ) = 1 - x ²

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