Determine o ponto da reta x + 2y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.

Passo 1

Perceba que precisamos encontrar o valor máximo da função f x , y = x ⋅ y   .Desejamos achar o ponto que esteja na reta. Então, podemos usar multiplicador de Lagrange, com esta restrição. Vamos chama-la de g x , y = x + 2 y - 1

Vamos relembrar como funciona o multiplicador de lagrange

∇ f x , y = λ ∇ g x , y g x , y = 0

Passo 2

Então, precisamos encontrar o gradiente das funções. Vamos lá!

∂ f ∂ x x , y = y     ∂ f ∂ x x , y = x  

Logo,

∇ f   x , y = y , x

Vamos agora para a função g .  

∂ g ∂ x x , y = 1       ∂ g ∂ x x , y = 2

Logo,

∇ g   x , y = 1,2

Passo 3

Substituindo os dados no sistema

y = λ x = 2 λ x + 2 y = 1  

Temos que

x = λ - 1

Da ultima equação

y = 1 - x   2

Passo 4

Como

y = λ ⟹

λ =   1 - x   2  

Usando a segunda equação

x = 2 λ = 2   1 - x   2 = 1 - x ⟹

2 x = 1   ⟹

x = 1 2   ⟹

y = 1 4

Resposta

1 2 , 1 4

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