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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 2

Determine o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole x y = 1 , que está mais próximo da origem.

Passo 1

Da geometria analítica, temos que a distância de um ponto a uma reta é dado por:

d = x 2 + y 2

O nosso ponto P pode ser considerado como um ponto P ( x , y ) sobre a hipérbole.

A nossa reta, é dada pela função da hipérbole e pode ser reescrita como:

x y = 1 ⇒ y = 1 x

Substituindo em d temos:

d = x 2 + 1 x 2 = x 4 + 1 x 2

Passo 2

Como queremos o ponto mais próximo da origem, queremos a menor distância d . Logo, podemos minimizar a função. Para isso vamos calcular sua primeira derivada, iguala-la a zero e isolar a variável x . Temos então que:

f = x 4 + 1 x 2 ⇒ f ' = 4 x 3 . x 2 - 2 x . ( x 4 + 1 ) x 4 = 4 x 5 - 2 x 5 - 2 x x 4 = x ( 2 x 4 - 2 ) x 4 = 2 x 4 - 2 x 3

f ' = 0 ⇒ 2 x 4 - 2 x 3 = 0 ⇒ 2 x 4 - 2 = 0 ⇒ x 4 = 1 ⇒ x = ± 1

Portanto, x = ±   1 são pontos críticos.

Passo 3

Pelo teste da segunda derivada, temos que: Seja f uma função derivável num intervalo ( a , b ) e c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ' c = 0 ,   c o m   a < c < b . Se f admite a derivada f ' ' em ( a , b ) , temos:

  1. Se f ' ' c > 0   ,   f   t e m   u m   v a l o r   m í n i m o   r e l a t i v o   e m   c .
  2. Se f ' ' c < 0 ,   f   t e m   u m   v a l o r   m á x i m o   r e l a t i v o   e m   c .

Assim, calculando a segunda derivada de f , temos:

f ' ' = 2.4 x 3 . x 3 - 3 x 2 ( 2 x 4 - 2 ) x 6 = 8 x 6 - 6 x 6 + 6 x 2 x 6 = x 2 ( 2 x 4 + 6 ) x 6 = 2 x 4 + 6 x 4

Aplicando os pontos críticos calculado no passo anterior em f ' ' :

f ' ' 1 = 2.1 4 + 6 1 4 = 8 > 0 ⇒ É   p o n t o   d e   m í n i m o   !

f ' ' - 1 = 2 . - 1 4 + 6   - 1 4 = 8 > 0 ⇒ É   p o n t o   d e   m í n i m o   !

Portanto: P x , y = P 1,1     o u       P ( - 1 , - 1 )   , dado que x y = 1 e P pertence à hipérbole.

Resposta

P 1,1     o u       P ( - 1 , - 1 )  

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