Encontre f .

f''(x) = cos(x)

Passo 1

Bom pessoal, nessa questão temos uma segunda derivada de uma função:

f ' ' x = cos ⁡ x

E queremos encontrar a função f x .

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função F é chamada de antiderivada de f :

F ' x = f x

E se F é uma antiderivada de f nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de f :

F x + C

onde C é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a F x não muda em nada sua derivada.

Aqui vai nos ajudar saber a regra de antiderivada da função seno e da função cosseno:

s e n x = - cos ⁡ x '

cos ⁡ x = s e n x '

Para achar f vamos ter que achar a antiderivada duas vezes, vamos lá!

Passo 2

Nossa função é:

f ' ' x = cos ⁡ x

Para encontrar sua primeira antiderivada, fazemos:

cos ⁡ x = s e n x '

Dessa forma, somando com a constante temos a antiderivada mais geral:

f ' x = s e n x + C

Agora devemos antiderivar novamente. Para o seno teremos:

s e n x = - cos ⁡ x '

E para a constante podemos usar a seguinte regra:

C = C x '

Dessa forma, somando tudo e juntando a mais uma constante D teremos:

f x = - cos ⁡ x + C x + D

E tá pronto o sorvetinho!

Resposta

f x = - cos ⁡ x + C x + D

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