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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 16

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. cossec 2 ⁡ x
  2. - 3 2 ⋅ cossec 2 ⁡ 3 x 2
  3. 1 - 8 c o s s e c 2 2 x

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções trigonométricas, mais especificamente o c o s s e c k x que é o caso que temos aqui tem se a seguinte regra

f x = cossec 2 ⁡ ( k x ) → F x = - 1 k ⋅ c o t g ⁡ ( k x ) + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = cossec 2 ⁡ ( x ) → F x = - 1 1 ⋅ cotg ⁡ 1 ⋅ x = - c o t g ( x )

g x = - 3 2 ⋅ cossec 2 ⁡ 3 x 2   → G x = - 3 2 ⋅ - 1 3 2 ⋅ cot ⁡ 3 x 2  

G x = c o t g 3 x 2

  1. h x =   1 - 8 c o s s e c 2 2 x   → H x = x - 8 ⋅ - 1 2 ⋅ c o t g 2 x  

    2. H x = x + 4 ⋅ c o t g 2 x  

    Resposta

  2. - c o t g ( x )
  3. c o t g 3 x 2
  4. x + 4 ⋅ c o t g 2 x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a primitiva mais geral da função. ( Verifique sua resposta derivando.) f ( x ) = 2 + x 2 1 + x 2
Encontre f . f ' ' x = 6 x + 12 x 2
Encontre f . f ' ' x = 6 x + s e nx
Encontre f . f ' ' ' t = t - t
Encontre f . f ' ' ' t = e t