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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.9 - Ex. 27

Encontre f .

f^(' ' ') (t) = e^t

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função original f . Para isso, deveremos encontrar a antiderivada. Porém, a função apresentada é a terceira derivada da função f . Dessa forma, deveremos encontrar a antiderivada três vezes para chegar na função f .Utilizaremos para isso a tabela de antiderivadas da seção 4.9 .

Passo 2

Primeiramente, iremos encontrar a antiderivada de f^(' ' ') ( t ) . Para isso, utilizaremos a regra de derivação de funções exponenciais, ficando com

f^(' ') ' (t) = e^t

f^(' ') (t) = e^t + C

Derivando f ' ' ( t ) , temos

f^(' ' ') (t) = e^t

Dessa forma, f^(' ') ( t ) é a antiderivada de f^(' ' ') ( t ) . Fazendo novamente a antiderivada, mas em relação a f^(' ') (t) , temos

f^(' ') (t) = e^t + C

f^' (t) = e^t + C t + C_1

Passo 3

Derivando f ' ( t ) , temos

f^(' ') (t) = e^t + C

Dessa forma, f^' ( t ) é a antiderivada de f^(' ') ( t ) .

Agora, iremos encontrar a antiderivada de f^' ( t ) utilizando novamente a regra de derivação de funções exponenciais. Dessa forma, temos

f^' (t) = e^t + C t + C_1

f (t) = e^t + (C)/(2) t^2 + C_1 t + C_2

Derivando f ( t ) , temos

f^' (t) = e^t + C t + C_1

Dessa forma, encontramos nossa função f , onde C , C_1 e C_2 são constantes.

Resposta

f (t) = e^t + (C)/(2) t^2 + C_1 t + C_2

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