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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 17

Determine uma primitiva para cada função. Faça quantas puder mentalmente. Confira suas respostas por diferenciação

  1. c o s s e c x ⋅ c o t g ( x )
  2. - c o s s e c 5 x ⋅ c o t g ( 5 x )
  3. - π ⋅ c o s s e c π x 2 ⋅ c o t g π x 2

Passo 1

Como o exercício nos pede uma primitiva, vamos usar o raciocínio inverso da derivada e tentar achar uma função cuja derivada seja a função com a qual estamos trabalhando. Para as funções trigonométricas, mais especificamente o c o s s e c k x ⋅ c o t g ( k x ) que é o caso que temos aqui tem se a seguinte regra

f x = c o s s e c k x ⋅ c o t g ( k x ) → F x = - 1 k ⋅ c o s e c ⁡ ( k x ) + C

Como queremos apenas uma primitiva, vamos utilizar C = 0 .

Passo 2

Lembrando que estamos utilizando C = 0 , vamos aplicar nossa regra para encontrar uma primitiva em cada letra

f x = c o s s e c x ⋅ c o t g x → F x = - 1 1 ⋅ c o s s e c x =   - c o s s e c ( x )

g x =   - c o s s e c 5 x ⋅ c o t g 5 x → G x = - - 1 5 ⋅ c o s s e c 5 x = c o s s e c 5 x 5  

h x =   - π ⋅ c o s s e c π x 2 ⋅ c o t g π x 2   →

H x = - π ⋅ - 1 π 2 ⋅ c o s s e c π x 2 = 2 ⋅ c o s s e c π x 2

Resposta

  1. - c o s s e c ( x )
  2. c o s s e c 5 x 5
  3. 2 ⋅ c o s s e c π x 2
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