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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 81

Verifique a fórmula abaixo por meio da diferenciação.

∫ tg - 1 ⁡ x x 2   d x = ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 - tg - 1 ⁡ x x + C

Passo 1

Como a integral e a derivada são operações inversas, podemos verificar se uma é solução da outra aplicando sua operação inversa. Derivaremos a resposta dada para verificar se realmente é a solução da integral.

Passo 2

Derivando usando as regras de logaritmo natural, funções trigonométricas inversas e regra do quociente, teremos:

1 x - 1 2 × 1 1 + x 2 × 2 x - 1 1 + x 2 × x - 1 × tg - 1 ⁡ x x 2 + 0

1 x - 2 x 2 1 + x 2 - x 1 + x 2 - tg - 1 ⁡ x x 2

1 x - x 1 + x 2 - x x 2 1 + x 2 + ( tg - 1 ⁡ x ) x 2

x 1 + x 2 - x 3 - x + tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 x 2 1 + x 2

x + x 3 - x 3 - x + tg - 1 ⁡ x ( 1 + x ² ) x 2 1 + x 2

tg - 1 ⁡ x 1 + x 2 x 2 1 + x 2 = tg - 1 ⁡ x x 2

Resposta

A solução foi verificada para a equação.

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