Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.1 - Ex. 1
Seja , derivável e tal que para todo , , constante não nula. Prove que existe uma constante , tal que, para todo , .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente provar que dada uma função , com constante, quando a derivamos, chegamos a forma:
Então, o que nós vamos fazer é derivar a nossa , usando a regra da cadeia (que é derivada da função de fora vezes a função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro) e verificar se o resultado satisfaz essa igualdade.
Vamos lá!
Passo 2
Então temos que derivar:
Como é uma constante, podemos escrever assim:
Para derivar o que está dentro dos parênteses usamos a regra da cadeia (como vimos no passo – repare que a função de dentro é o expoente nesse caso):
Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos escrever assim:
Mas é a nossa . Então, temos:
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉