Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Confira suas respostas por diferenciação

∫ 3 x 3   d x

Passo 1

Antes de mais nada precisamos lembrar que a derivada é a função inversa da integral.

Então, para o caso das primitivas, podemos simplesmente usar as regras da derivada ao contrário. Aqui é simplesmente um caso de trabalhar com expoentes.

Passo 2

Tirando a constante da integral:

3 ∫ x 3   d x

Solucionando a primitiva, teremos:

3 x 3 + 1 3 + 1 + C

Racionalizando, vamos ter:

3 x 3 + 1 3 + 1 × 3 - 1 3 - 1 + C

3 x 3 + 1 3 - 1 3 - 1 + C = 3 3 - 1 x 3 + 1 2 + C

Sem esquecer de somar a constante de integração!

Passo 3

Derivando a expressão para tirarmos a prova real, teremos:

3 3 - 1 3 + 1 x 3 + 1 - 1 2 + 0

3 3 - 1 x 3 2 = 6 x 3 2 = 3 x 3

Resposta

3 x 3 + 1 3 + 1 + C ou 3 3 - 1 x 3 + 1 2 + C

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Determine a função y = y(x), x0 , tal quedy/dx = x + 1/raiz(x) e y(1) = 0
Determine a função y = y(x), x0 , tal quedy/dx = 1/x^2 e y(1) = 1 dy/dx = 3 + 1/x e y(1) = 2 dy/dx = x + 1/raiz(x) e y(1) = 0 dy/dx = 1/x + 1/x^2 e y(1) = 1
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta por diferenciação.)f(x) = (2*x^2 + 5) / (x^2 + 1)
Encontre f .f''(t) = t^2 + 1 / t^2, t0, f(2) = 3, f'(1) = 2
Encontre f .f'(t) = sec(t) * (sec(t) + tan(t)), -π/2tπ/2, f(π/4) = -1