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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 6d

Determine a função y = y (x) , x > 0 , tal que

  1. (d y)/(d x) = (1)/(x^2) e y (1) = 1
  2. (d y)/(d x) = 3 + (1)/(x) e y (1) = 2
  3. (d y)/(d x) = x + (1)/(sqrt(x)) e y (1) = 0
  4. (d y)/(d x) = (1)/(x) + (1)/(x^2) e y (1) = 1

Passo 1

Vamos começar separando os termos y e x para cada lado:

(d y)/(d x) = (1)/(x) + (1)/(x^2) -> int d y = int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x

Separando em duas integrais distintas:

int d y = int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x

int d y = int (d x)/(x) + int (d x)/(x^2)

Passo 2

Calculando a integral:

y (x) = int (d x)/(x) + int (d x)/(x^2)

y (x) = int (d x)/(x) + int x^(- 2) d x = ln x + (x^(- 1))/(- 1) + C = ln x - (1)/(x) + C

Substituindo o ponto dado:

y (1) = 1 = ln 1 - (1)/(1) + C

C = 1 + 1 = 2

Assim,

y (x) = ln x - (1)/(x) + 2

Fim!!

Resposta

y (x) = ln x - (1)/(x) + 2

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9- Utilizando o exercício 1 determine a função y = y(x), x ∈ R , que satisfaça as condições dadas.a)d y d x = 2 yey 0 =1 b) d y d x = 1 2yey 0 =2 c) d y d x = -yey 0 =- 1 d) d y d x = 2yey 0 =- 1 2
1. Calculeb) int 3 d x
1. Calculea) int x d x
q)int ( (2)/(x) + (3)/(x^2) ) d x
m) int (2 + root(4)(x)) d x