Determine a função y = y(x), x > 0 , tal que

  1. dy/dx = 1/x^2 e y(1) = 1
  2. dy/dx = 3 + 1/x e y(1) = 2
  3. dy/dx = x + 1/raiz(x) e y(1) = 0
  4. dy/dx = 1/x + 1/x^2 e y(1) = 1

Passo 1

Vamos começar separando os termos y e x para cada lado:

(d y)/(d x) = (1)/(x) + (1)/(x^2) -> int d y = int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x

Separando em duas integrais distintas:

int d y = int ((1)/(x) + (1)/(x^2)) d x

int d y = int (d x)/(x) + int (d x)/(x^2)

Passo 2

Calculando a integral:

y (x) = int (d x)/(x) + int (d x)/(x^2)

y (x) = int (d x)/(x) + int x^(- 2) d x = ln x + (x^(- 1))/(- 1) + C = ln x - (1)/(x) + C

Substituindo o ponto dado:

y (1) = 1 = ln 1 - (1)/(1) + C

C = 1 + 1 = 2

Assim,

y (x) = ln x - (1)/(x) + 2

Fim!!

Resposta

y (x) = ln x - (1)/(x) + 2

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9- Utilizando o exercício 1 determine a função y = y(x), x R ∈ R , que satisfaça as condições dadas.a)dy/dx = 2y e y(0) = 1 b) dy/dx = 1/2 y e y(0) = 2 c) dy/dx = - y e y(0) = -1 d) dy/dx = raiz(2) *
1. Calculeb) int 3 d x
1. Calculea) int x d x
q)int ( (2)/(x) + (3)/(x^2) ) d x
m) int (2 + root(4)(x)) d x