Determine a função y = y(x), x > 0 , tal que

  1. dy/dx = 1/x^2 e y(1) = 1
  2. dy/dx = 3 + 1/x e y(1) = 2
  3. dy/dx = x + 1/raiz(x) e y(1) = 0
  4. dy/dx = 1/x + 1/x^2 e y(1) = 1

Passo 1

Vamos começar separando os termos y e x para cada lado:

d y d x = 1 x + 1 x 2 → ∫ d y = ∫ 1 x + 1 x 2 d x

Separando em duas integrais distintas:

∫ d y = ∫ 1 x + 1 x 2 d x

∫ d y = ∫ d x x + ∫ d x x 2  

Passo 2

Calculando a integral:

y x = ∫ d x x + ∫ d x x 2  

y x = ∫ d x x + ∫ x - 2 d x = ln ⁡ x + x - 1 - 1 + C = ln ⁡ x - 1 x + C

Substituindo o ponto dado:

y 1 = 1 = ln ⁡ 1 - 1 1 + C

C = 1 + 1 = 2

Assim,

y x = ln ⁡ x - 1 x + 2

Fim!!

Resposta

y x = ln ⁡ x - 1 x + 2

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