Determine a primitiva mais geral ou a integral indefinida. Confira suas respostas por diferenciação

∫ 1 2 cossec 2 ⁡ x - cossec ⁡ x cotg ⁡ x d x

Passo 1

Antes de mais nada precisamos lembrar que a derivada é a função inversa da integral.

Então, para o caso das primitivas, podemos simplesmente usar as regras da derivada ao contrário. No caso das funções trigonométricas, temos que lembrar das suas respectivas derivadas.

Passo 2

Tirando a constante de dentro da integral e separando-a em duas expressões, teremos:

1 2 ∫ cossec 2 ⁡ x - ∫ cossec ⁡ x cotg ⁡ x d x

Solucionando as primitivas, lembrando das derivadas das funções trigonométricas, teremos:

1 2 - cotg ⁡ x - - cossec ⁡ x + C = 1 2 - cotg ⁡ x + cossec ⁡ x + C

Passo 3

Vamos conferir a resposta, derivando a solução do passo anterior.

1 2 - - cossec 2 ⁡ x + + - cossec ⁡ x cotg ⁡ x + 0 = 1 2 ( cossec 2 ⁡ x - cossec ⁡ x cotg ⁡ x )

Resposta

1 2 - cotg ⁡ x + cossec ⁡ x + C

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