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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 3

Calcule a integral iterada.

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z

Passo 1

Precisamos resolver uma integral tripla iterada. Para isto, basta fazermos o que já viemos fazendo com todas as outras integrais, isto é, resolver a integral mais interna para a mais externa.

Muito cuidado para não errar a ordem de integração! A ordem será dada pelo d que está mais próximo da função!

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável x . Portanto,

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z = int_0^2 int_0^(z^2) (x^2 - x y)_0^(y - z) d y d z

int_0^2 int_0^(z^2) ((y - z)^2 - (y - z) * y) d y d z

int_0^2 int_0^(z^2) (- y z + z^2) d y d z

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a y . Logo,

int_0^2 int_0^(z^2) (- y z + z^2) d y d z = int_0^2 (- (y^2 z)/(2) + z^2 y)_0^(z^2) d z

int_0^2 (- (z^5)/(2) + z^4) d z

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a z .

int_0^2 (- (z^5)/(2) + z^4) d z = (- (z^6)/(12) + (z^5)/(5))_0^2

(- (16)/(3) + (32)/(5)) = (16)/(15)

Resposta

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z = (16)/(15)

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 2 a 2 - x 2a0 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 ≤ z ≤ 1 - y e y ≥ 0
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 1 e z ≥ x 2 + y 2
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) 4 x 2 + 9 y 2 + z 2 ≤ 4 e 4 x 2 + 9 y 2 ≤ 1
W = x , y , z ∈ R 3 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4 ,x 2 + y 2 ≤ 2 y .