Mostre que 1 / 2 * (T_n + M_n) = T_2n .

Passo 1

Para achar a aproximação pela Regra do Trapézio fazemos uma média das aproximações da soma de Riemann, com a fórmula:

T_n = ((1)/(2) Delta x) [f (x_0) + 2 f (x_1) + 2 f (x_2) + * * * + 2 f (x_n - 1) + f (x_n)]

Para a aproximação do Ponto Médio, onde os x dos pontos são os pontos médios de cada intervalo, temos:

M_n = Delta x [f (overset(-)(x)_1) + f (overset(-)(x)_2) + * * * + f (overset(-)(x)_n - 1) + f (overset(-)(x)_n)]

Para T_2 n ficamos com:

T_2 n = (1)/(2) ((1)/(2) Delta x) [f (x_0) + 2 f (overset(-)(x)_1) + 2 f (overset(-)(x)_2) + 2 f (x_1) + 2 f (x_2) + * * * + 2 f (overset(-)(x)_n - 1) + 2 f (x_n - 1) + 2 f (overset(-)(x)_n) + f (x_n)]

Assim, temos que:

(1)/(2) (T_n + M_n) = (1)/(2) T_n + (1)/(2) M_n = (1)/(4) Delta x [f (x_0) + 2 f (x_1) + 2 f (x_2) + * * * + 2 f (x_n - 1) + f (x_n)] + (1)/(4) Delta x [2 f (overset(-)(x)_1) + 2 f (overset(-)(x)_2) + * * * + f 2 (overset(-)(x)_n - 1) + 2 f (overset(-)(x)_n)] = T_2 n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Utilize a Regra de Simpson para calcular o centroide da região dada.
As massas pontuais m_i estão localizadas nos pontos P_i . Ache os momentos M_x e M_y e o centro de massa do sistemam₁ = 6, m₂ = 5, m₃ = 1, m₄ = 4; P₁(1, -2), P₂(3, 4), P₃(-3, -7), P₄(6, -1)
As massas pontuais m_i estão localizadas nos pontos P_i . Ache os momentos M_x e M_y e o centro de massa do sistemam_1 = 6, m_2 = 5, m_3 = 10; P1(1, 5), P2(3, -2), P3(-2, -1)
Encontre o centroide da região mostrada, não por integração, mas por localização dos centroides dos retângulos e triângulos (do Exercício 39 ) e usando a aditividade dos momentos.
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