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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 17

Determine uma representação paramétrica para a superfície.

O plano que passa pelo ponto 1,2 , - 3 e contém os vetores i + j - k e i - j + k .

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo certo?

A questão pede uma representação paramétrica para o plano que passa pelo ponto

1,2 , - 3

E contém os vetores

i + j - k = 1,1 , - 1

E:

i - j + k = 1 , - 1,1

Para isso, vamos usar a equação:

r u , v = r 0 + u a + v b

Vamos lá!

Passo 2

As equações paramétricas do plano que passa pelo ponto r 0 = 1,2 , - 3 e que contém os vetores a = 1,1 , - 1 e b = 1 , - 1,1 são da forma:

r u , v = r 0 + u a + v b

Então, cada variável parametrizada tem a equação:

x = x 0 + u a 1 + v b 1  

  y = y 0 + u a 2 + v b 2  

  z = z 0 + u a 3 + v b 3

Aqui nas nossas equações, x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do nosso ponto zero:

r 0 = 1,2 , - 3

E a 1 , a 2 e a 3 são coordenadas de:

a = 1,1 , - 1

A mesma lógica se aplica a b :

b = 1 , - 1,1

Substituindo ficamos com:

  • x 0 = 1 , a 1 = 1 e b 1 = 1

    • x = 1 + u . 1 + v . 1 = 1 + u + v

  • y 0 = 2 , a 2 = 1 e b 2 = - 1

    • y = 2 + u . 1 + v - 1 = 2 + u - v

  • z 0 = - 3 , a 3 = - 1 e b 3 = 1

z = - 3 + u - 1 + v . 1 = - 3 - u + v

Resposta

x = 1 + u + v

y = 2 + u - v

z = - 3 - u + v

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