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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 13

Faça uma correspondência entre as equações e os gráficos identificados por I - V I e justifique sua resposta. Determine quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

r u , v = u cos ⁡ v   i + u sen ⁡ v j + v   k

Passo 1

E aiii turminha, beleza!?

Nosso objetivo é fazer uma correspondência entre as imagens e a parametrização:

r u , v = u cos ⁡ v   i + u sen ⁡ v j + v   k

E também, determinar quais famílias de curvas da grade têm u constante e quais têm v constante.

Vamos lá então!

Avaliando a equação paramétrica, temos que:

x = u cos ⁡ v

    y = u sen ⁡ v

        z = v

E agora? Você deve associar essa parametrização com a de um círculo em coordenadas polares.

Repare que no plano x y , temos uma parametrização típica de um círculo.

Agora eu quero que você faça essa comparação. Aí você vai compreender que temos um círculo de raio u no plano x y , como o raio pode variar e z pode assumir qualquer valor de v, vamos gerar algo parecido com uma hélice no plano x y z .

Bora lá resolver essa!!

Passo 2

Começamos relembrando a parametrização de um círculo.

Para um círculo, temos que:

x 2 + y 2 = r 2

E sua parametrização:

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

0 ≤ θ ≤ 2 π

Comparando com a parametrização dada:

r u , v = u cos ⁡ v i + u sin ⁡ v j + v   k

Temos que:

x = u cos ⁡ v

y = u   s e n   v

z = v

Assim, repare que conseguimos concluir que:

r = u

v = θ

Logo,

0 ≤ v ≤ 2 π

Passo 3

Veja, que realmente temos um círculo no plano x y .

x = u cos ⁡ v

y = u   s e n   v

z = v

Porém, esse círculo varia conforme o raio u , assim como a posição no eixo z que está em função de v .

Dessa forma, vamos ter uma curva que vai aumentando o seu raio à medida que avançamos em u e v , e ela está em torno do eixo z formando uma hélice. Desse jeito:

Vamos olhar as famílias de curvas da grade:

Com v constante, temos o seguinte:

x = u ( c o n s t a n t e ) , v = u ( c o n s t a n t e ) e z = c o n s t a n t e

Nesse caso x e y parametrizam uma reta no plano z = v que intercepta o eixo z .

Com u constante, temos o seguinte:

x = c o n s t a n t e × c o s , y = c o n s t a n t e × s e n ( v ) e z = v

Que representa uma projeção circular no plano x y .

Com z = v , cada curva da grade é uma hélice.

Então, realmente a superfície é uma rampa aspiral, que corresponde ao gráfico IV.

Resposta

Gráfico IV

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Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante. r u ,
Use um computador para traçar o gráfico da superfície parametrizada. Imprima o resultado e indique sobre essa impressão quais são as curvas da grade que têm u constante e quais têm v constante. r u ,