Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada.

∫ ∫ R s e n ( 9 x 2 + 4 y 2 )   d A , onde R é a região do primeiro quadrante limitada pela elipse

9 x 2 + 4 y 2 = 1

Passo 1

Pessoal, vamos usar a seguinte transformação:

u = 3 x   ,     v = 2 y

Assim, teremos:

x = u 3   ,     y = v 2   ,     9 x 2 + 4 y 2 = u 2 + v 2

E então podemos calcular o jacobiano da transformação:

∂ ( x ,   y ) ∂ ( u ,   v ) = 1 3 0 0 1 2 = 1 6

Passo 2

Show! Agora a gente pode reescrever a integral assim:

∫ ∫ R s e n 9 x 2 + 4 y 2   d A = ∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v

onde D é a parte do disco u 2 + v 2 ≤ 1 no quarto quadrante.

Então, essa integral vai se tornar mais fácil de calcular se passarmos para coordenadas polares:

∫ ∫ D 1 6 s e n u 2 + v 2   d u   d v = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 1 6 s e n r 2   r d r   d θ = 1 6 ∫ 0 π / 2 d θ ∫ 0 1 r   s e n r 2 d r = 1 6 θ 0 π / 2 - cos ⁡ r 2 2 0 1 = 1 6 π 2 - cos ⁡ 1 2 + 1 2 = π 24 ( 1 - cos ⁡ 1 )

Resposta

π 24 ( 1 - cos ⁡ 1 )

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