Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 8
8- Determine uma reta paralela à reta e tangente à curva em um ponto , com e
Passo 1
Como a reta é paralela à x+y=1, temos que o coeficiente angular de ambas são iguais.
Com efeito, temos que a reta y=mx+n tem o valor de m sendo -1.
Passo 2
Temos, além disso, que a reta y=-x+n intercepta a curva em um único ponto.
Desse modo, substituímos na equação da curva o valor de y dado pela reta.
Desenvolvendo os binômios:
Passo 3
Temos então que o discriminante da equação acima deve ser zero.
Assim,
Então,
Dessa forma, temos que n=0 é uma raiz da equação, mas não satisfaz as condições da questão, pois teríamos y=-x, de onde segue que x(-x)=0, donde x=y=0
Portanto, continuemos encontrando raízes para a equação.
Daí, temos que 1-3n=0 é uma solução para a equação e, portanto, n=1/3.
Porém, quando n=1/3, não temos nenhuma interseção entre a reta e a curva.
Logo, sabemos que , de onde segue que, dividindo a equação por 1-3n:
Passo 4
No caso em que n=-1, temos y=-x-1.
Assim, substituindo na equação da curva, temos
Substituindo na equação da reta, temos que -1=
Note que esse par satisfaz as condições do problema.