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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 15

Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F x , y , z = 3 x y 2 z 2 i ^ + 2 x 2 y z 3 j ^ + 3 x 2 y 2 z 2 k ^

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Ela pede para classificar o campo vetorial

F x , y , z = 3 x y 2 z 2 i ^ + 2 x 2 y z 3 j ^ + 3 x 2 y 2 z 2 k ^

Em conservativo ou não. E caso seja conservativo, achar uma função f que obedeça a essa expressão:

F → = ∇ f

Esse ∇ significa gradiente! O campo F → tem que ser igual ao gradiente de f !

Vamos lembrar quais são as condições para que o campo vetorial seja conservativo.

A primeira coisa que temos que ter é que, o rotacional de F → deve ser nulo. Entretanto essa é uma condição necessária, mais não suficiente. Uma vez verificado que ∇ × F → = 0 → , o próximo passo é buscar verificar a cara de f

Para calcular o rotacional, fazemos

∇ × F ^ = i ^ j ^ k ^ d d x d d y d d z F x F y F z

∇ × F ^ = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Então, vamos começar calculando esse rotacional, se for igual a 0 olharemos para f . Caso seja diferente de 0 , o campo não é conservativo!

Partiu?

Passo 2

Calculando o rotacional do campo

F x , y , z = 3 x y 2 z 2 i ^ + 2 x 2 y z 3 j ^ + 3 x 2 y 2 z 2 k ^

Sendo

F x = 3 x y 2 z 2

F y = 2 x 2 y z 3

F z = 3 x 2 y 2 z 2

Muito bem! Vamos olhar para a fórmula do rotacional

∇ × F ^ = d F z d y - d F y d z i ^ + d F x d z - d F z d x j ^ + d F y d x - d F x d y k ^

Vamos substituir os valores de F ?

∇ × F ^ =

  d 3 x 2 y 2 z 2 d y - d 2 x 2 y z 3 d z i ^

+ d 3 x y 22 z 2 d z - d 3 x 2 y 2 z 2 d x j ^

+ d 2 x 2 y z 3 d x - d 3 x y 22 z 2 d y k ^  

Sempre bom lembrar que se estamos derivando em relação à x , por exemplo, todo o resto é como se fosse uma constante qualquer! Assim funciona para a derivação em relação à y e z também!

Vamos calcular primeiro para i ^ :

d 3 x 2 y 2 z 2 d y - d 2 x 2 y z 3 d z i ^ = 6 x 2 y z 2 - 6 x 2 y z 2 i ^

Agora para j ^ :

d 3 x y 22 z 2 d z - d 3 x 2 y 2 z 2 d x j ^ = 6 x y 2 z - 6 x y 2 z 2 j ^

E finalmente para k ^ :

d 2 x 2 y z 3 d x - d 3 x y 22 z 2 d y k ^ = 4 x y z 3 - 6 x y z 2 k ^

Juntando tudo novamente:

∇ × F ^ = 6 x 2 y z 2 - 6 x 2 y z 2 i ^ + 6 x y 2 z - 6 x y 2 z 2 j ^ + 4 x y z 3 - 6 x y z 2 k ^

Que é diferente de 0 !

∇ × F ^   ≠ 0

Logo o campo não é conservativo.

Resposta

Campo não conservativo

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